Question

3．设f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，
（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1-a）的值；
（2）求$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2012}{2015}）+f（\frac{2013}{2015}）+f（\frac{2014}{2015}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式，直接求解表达式的值即可．
（2）利用（1）的结果求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$，
$f（a）+f（1-a）=\frac{4^a}{{{4^a}+2}}+\frac{{{4^{1-a}}}}{{{4^{1-a}}+2}}$=$\frac{4^a}{{{4^a}+2}}+\frac{{\frac{4}{4^a}}}{{\frac{4}{4^a}+2}}$=$\frac{4^a}{{{4^a}+2}}+\frac{4}{{4+2•{4^a}}}$=$\frac{4^a}{{{4^a}+2}}+\frac{2}{{2+{4^a}}}$=$\frac{{{4^a}+2}}{{{4^a}+2}}=1$
（2）根据（1）的结论$f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{3}{2015}）+…+f（\frac{2012}{2015}）+f（\frac{2013}{2015}）+f（\frac{2014}{2015}）$=$[f（\frac{1}{2015}）+f（\frac{2014}{2015}）]+[f（\frac{2}{2015}）+f（\frac{2013}{2015}）+…+[f（\frac{1007}{2015}）+f（\frac{1008}{2015}）]$=1007×1=1007．

点评 本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．