Question

在△ABC中，cos(A+C)=-

3

5

，且a，c的等比中项为

35

．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a=7，求角C．

Answer 1

分析：（1）由条件求得sinB=

4

5

，cosB=

3

5

，ac=35，再由△ABC的面积为

1

2

•ac•sinB，运算求得结果．
（2）由a=7，可得c=5，由余弦定理可得 b²=32，可得b=4

2

．再由正弦定理求得sinC=

2

2

，从而求得C的值．

解答：解：（1）在△ABC中，cos(A+C)=-

3

5

，可得sin（A+C）=sinB=

4

5

，∴cosB=

3

5

．
再由a，c的等比中项为

35

可得ac=35，故△ABC的面积为

1

2

•ac•sinB=14．
（2）∵a=7，∴c=5，由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=49+25-70×

3

5

=32，
∴b=4

2

．
再由正弦定理可得

c

sinC

=

b

sinB

，即 

5

sinC

=

4 2

4 5

，∴sinC=

2

2

，∴C=

π

4

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，等比中项的定义，根据三角函数的值求角．