Question

如图，在△ABC中，cos∠ABC=

1

3

，AB=6，AD=2DC，点D在AC边上．
（Ⅰ）若BC=AC，求sin∠ADB；
（Ⅱ）若BD=4

3

，求BC的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为BC=AC，所以∠A=∠ABC，由cos∠ABC=

1

3

，结合二倍角公式，可得cos²

A

2

=

2

3

，利用sin∠ADB=sin（

π

2

-

A

2

）=cos

A

2

，可求sin∠ADB；
（Ⅱ）两次运用余弦定理，建立方程，即可求BC的长．

解答：解：（Ⅰ）因为BC=AC，所以∠A=∠ABC，
因为AB=6，所以AD=

2

3

AC=

2

3

×

AB

2cos∠ABC

=6．
于是AB=AD．
因为cosA=2cos²

A

2

-1=

1

3

，所以cos²

A

2

=

2

3

，
又

A

2

∈（0，

π

2

），所以sin∠ADB=sin（

π

2

-

A

2

）=cos

A

2

=

6

3

．    …（6分）
（Ⅱ）设BC=a，AD=2DC=2m．
在△ABC中，由余弦定理得9m²=36+a²-2×6a×

1

3

，
即9m²=36+a²-4a．①
由∠BDA与∠BDC互补知，cos∠BDA+cos∠BDC=0．
再由余弦定理得

BD2+AD2-AB2

2BD•AD

+

BD2+CD2-BC2

2BD•CD

=0，
即

48+4m2-36

16 3 m

+

48+m2-a2

8 3 m

=0，化简得3m²=a²-54．②
由①②解得a²+2a-99=0，a=9或a=-11（舍去）．
故BC=9．…（12分）

点评：本题考查余弦定理的运用，考查二倍角公式，正确运用余弦定理是关键．