Question

如图，在△ABC中，设

AB

=a，

AC

=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若

AP

=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比

S平行四边形ANPM

S△ABC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．可得

AP

=

AR + AC

2

，

AR

=

AQ + AB

2

，

AQ

=

1

2

AP

，消去

AR

，

AQ

，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM其面积和三角形ABC的面积可以用公式s=

1

2

absinC，这个公式进行求解，再根据（Ⅰ）的结论很容易进行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，设

AB

=a，

AC

=b，
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．

AP

=

AR + AC

2

，

AR

=

AQ + AB

2

，

AQ

=

1

2

AP

，消去

AR

，

AQ

∵

AP

=λa+μb，
可得

AP

=

1

2

（

AQ + AB

2

）+

1

2

AC

=

1

4

×

1

2

AP

+

1

4

AB

+

1

2

AC

，
可得

AP

=

2

7

AB

+

4

7

AC

=λ

a

+μ

b

，
∴

λ= 2 7 μ= 4 7

；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，
∵得

AP

=

2

7

AB

+

4

7

AC

，
∴

S平行四边形ANPM

S平行四边形ABC

=

|AN|•|AM|•sin∠CAB

1 2 |AB|•|AC|•sin∠CAB

=2•

|AN|

|AB|

•

|AM|

|AC|

=2×

2

7

×

4

7

=

16

49

；

点评：此题主要考查向量中点的应用以及三角形面积公式的应用，本题涉及三角形中位线定理，以及向量中点的巧妙应用，是一道好题；