Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，下列是关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的4个判断：
①当k＞0时，有3个零点；
②当k＜0时，有2个零点；
③当k＞0时，有4个零点；
④当k＜0时，有1个零点，
则正确的判断是③④．

Answer 1

分析 由y=0得f[f（x）]=-1，利用换元法将函数分解为f（x）=t和f（t）=-1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解答：解：由y=f[f（x）]+1=0得f[f（x）]+1=0，
即f[f（x）]=-1，
设f（x）=t，
则方程f[f（x）]=-1
等价为f（t）=-1，
①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图
∵f（t）=-1，
∴此时方程f（t）=-1有两个根其中t₂＜0，0＜t₁＜1，
由f（x）=t₂＜0，知此时x有两解，
由f（x）=t₁∈（0，1）知此时x有两解，
此时共有4个解，即函数y=f[f（x）]+1有4个零点．
②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：
∵f（t）=-1，
∴此时方程f（t）=-1有一个根t₁，其中0＜t₁＜1，
由f（x）=t₁∈（0，1）知此时x只有1个解，
即函数y=f[f（x）]+1有1个零点．
综上：只有③④正确．
故答案为：③④．

点评 本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键．