Question

3．已知函数f（x）=ax²-x+4．
（1）若函数g（x）=lgf（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设函数h（x）=x²-（a+2）x-2（a+4），若存在两个非负整数m，n（0≤m＜n），使得函数f（x）与h（x）在区间（m，n）上恒有f（x）＜0且h（x）＜0成立，求n的最大值，及n取最大值时a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数g（x）=lgf（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则函数f（x）=ax²-x+4在区间[1，+∞）上单调递增，且f（x）=ax²-x+4＞0在区间[1，+∞）上恒成立，进而可得实数a的取值范围；
（2）若存在两个非负整数m，n（0≤x＜n），使得函数f（x）与h（x）在区间（m，n）上恒有f（x）＜0且h（x）＜0成立，由h（x）＜0的解集为N=（0，a+4），令f（x）=ax²-x+4＜0的解集为M，则：（m，n）⊆M∩N，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的a的范围，结合n为整数，可得答案．

解答 解：（1）∵函数g（x）=lgf（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）=ax²-x+4在区间[1，+∞）上单调递增，且f（x）=ax²-x+4＞0在区间[1，+∞）上恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{1}{2a}≤1\\ a-1+4＞0\end{array}\right.$，
解得：a$≥\frac{1}{2}$
（2）解h（x）=x²-（a+2）x-2（a+4）=0得，x=a+4，或a=-2，
当a+4≤0时，函数h（x）＞0在[m，n]上恒成立不满足要求；
∴a+4＞0，即a＞-4，
即h（x）＜0的解集为N=（0，a+4），
令f（x）=ax²-x+4＜0的解集为M，
则由题意可得：（m，n）⊆M∩N，
①当a＜0时，
∵f（0）=4＞0，故f（a+4）=a（a+4）²-（a+4）+4＜0．
即a＞-3，或a＜-5，
又由a＞-4，
∴-3＜a＜0，
此时n≤a+4＜4，
∴m＜n＜4，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}-3＜a＜0\\ 3≤a+4＜4\\ f（2）=4a+2≤0\end{array}\right.$，即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$时，n的最大值为3；
②当a=0时，M∩N=∅，不合题意；
③当a＞0时，
∵f（0）=4＞0，故f（a+4）=a（a+4）²-（a+4）+4＞0，
故$\left\{\begin{array}{l}0＜\frac{1}{2a}＜a+4\\△=1-16a＞0\end{array}\right.$，此时不存在满足条件的a值，
综上，n的最大值为3，a的取值范围为：-1≤a≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，恒成立问题，分类讨论思想，难度中档．