Question

18．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x且f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），求函数f（x）的表达式．

Answer 1

分析 由f（0）=0可得c=0而函数对于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），可得函数f（x）的对称轴从而可得a=b
结合f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0对于任意x∈R都成立，可转化为二次函数的图象可得a＞0，且△=（b-1）²≤0．

解答 解：∵f（0）=0，∴c=0．
∵对于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，得a=b．
又f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0对于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且△=（b-1）²≤0．
∵（b-1）²≥0，∴b=1，a=1．
∴f（x）=x²+x．

点评 本题主要考查了函数的解析式的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．