Question

9．设a＞b＞0，a+b=1，且x=log_ab，y=log${\;}_{\frac{1}{b}}$a，z=log${\;}_{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）}$（3a+b）．则x，y，z之间的大小关系是（　　）

• A． y＜x＜z
• B． z＜y＜x
• C． x＜y＜z
• D． y＜z＜x

Answer 1

分析 根据对数的运算性质和对数函数的性质进行化简即可．

解答 解：∵a＞b＞0，a+b=1，
∴0＜b＜$\frac{1}{2}$＜a＜1，
则x=log_ab＞log_aa=1，y=log${\;}_{\frac{1}{b}}$a＜0，
∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（a+b）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$$＞2+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}=2+2=4$，2＜3a+b＜3，
∴0＜z＜1，
综上y＜z＜x，
故选：D．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据对数的运算性质和对数函数的性质是解决本题的关键．