Question

20．已知y=f（x）为R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立．若a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（log₄3）•f（log₄3），$c=（{log_2}\frac{1}{4}）•f（{log_2}\frac{1}{4}）$，求a，b，c的大小关系．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系，进行转化即可．

解答 解：构造函数g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴此时函数g（x）为减函数，
∵y=f（x）为R上的奇函数，
∴y=g（x）为R上的偶函数，
即当x＞0时，函数g（x）为增函数，
a=（2^0.2）•f（2^0.2）=g（2^0.2），b=（log₄3）•f（log₄3）=g（log₄3），$c=（{log_2}\frac{1}{4}）•f（{log_2}\frac{1}{4}）$=g（log₂$\frac{1}{4}$）=g（-2）=g（2），
∵1＜2^0.2＜2，0＜log₄3＜1，
∴0＜log₄3＜1＜2^0.2＜2，
即g（log₄3）＜g（2^0.2）＜g（2），
即b＜a＜c．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，构造函数求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．