Question

15．已知以抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为虚轴的一个端点的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），抛物线的一条与双曲线的渐近线平行的切线在y轴上的截距为-1，则p的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设切线方程为y=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$x-1与抛物线方程联立，消去y可得x²-$\frac{pb}{\sqrt{2}}$x+2p=0，△=0，可得$\frac{{p}^{2}{b}^{2}}{2}$-8p=0，再求出b=$\frac{p}{2}$，即可求出p的值．

解答 解：双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{b}{2\sqrt{2}}$x，不妨设切线方程为y=$\frac{b}{2\sqrt{2}}$x-1
与抛物线方程联立，消去y可得x²-$\frac{pb}{\sqrt{2}}$x+2p=0，
△=0，可得$\frac{{p}^{2}{b}^{2}}{2}$-8p=0，
∵以抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为虚轴的一个端点的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），
∴b=$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{{p}^{4}}{4}-16p$=0，
∵p＞0，
∴p=4．
故选：D．

点评 本题考查抛物线、双曲线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．