Question

5．设实数a∈[0，π]，若函数f（x）=sinx+sin（x+a）-1没有零点，则实数a的取值范围是（$\frac{2}{3}$π，π]．

Answer 1

分析 化简f（x）═（1+cosa）sinx+sinacosx-1=$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$sin（x+θ）-1（θ为常数），从而由题意得到$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$＜1，从而解得．

解答 解：f（x）=sinx+sin（x+a）-1=sinx+sinxcosa+cosxsina-1
=（1+cosa）sinx+sinacosx-1=$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$sin（x+θ）-1（θ为常数），
∵函数f（x）=sinx+sin（x+a）-1没有零点，
∴$\sqrt{（1+cosa）^{2}+si{n}^{2}a}$＜1，
即1+2cosa+cos²a+sin²a＜1，
即2cosa＜-1，
即cosa＜$-\frac{1}{2}$；
又∵a∈[0，π]，
∴a∈（$\frac{2}{3}$π，π]，
故答案为：（$\frac{2}{3}$π，π]．

点评 本题考查了三角函数的化简与函数零点的判断，属于中档题．