Question

20．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足①图象过原点；②图象关于直线x=1对称；③g（x）=f（x）+x²是奇函数，解答下列问题：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，3]上值域；
（3）是否存在实数m，n使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，如果存在，请求出m，n，如不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件①②便可得到c=0，b=-2a，从而得到g（x）=（a+1）x²-2ax，根据g（x）为奇函数即可得出a=-1，从而求出f（x）=-x²+2x；
（2）配方得到f（x）=-（x-1）²+1，从而f（x）≤1，再比较f（0）和f（3），即可得出函数f（x）在区间[0，3]上的值域；
（3）二次函数在对称轴的一边具有单调性，从而该问可转化为判断f（x）和y=3x是否存在两个交点，并且交点在直线x=1的同侧，这样解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=3x}\end{array}\right.$求出交点即可．

解答 解：（1）根据条件①②得，c=0，$-\frac{b}{2a}=1$；
∴f（x）=ax²-2ax，g（x）=（a+1）x²-2ax；
g（x）为奇函数；
∴g（-x）=（a+1）x²+2ax=-（a+1）x²+2ax；
∴a+1=-（a+1）；
∴a=-1；
∴f（x）=-x²+2x；
（2）f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1；
又f（0）=0，f（3）=-3；
∴f（x）在[0，3]上的值域为[-3，1]；
（3）根据题意判断函数f（x）和函数y=3x是否在直线x=1的同侧有两个交点，设y=f（x）；
∴解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=3x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$；
显然点（0，0）和（-1，-3）在x=1的同侧；
∴存在实数m，n，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，且m=-1，n=0．

点评 考查二次函数的对称轴，奇函数的定义，配方并比较端点值求二次函数值域的方法，将函数的定义域、值域的问题，转变成曲线交点的问题，而曲线的交点又可通过解方程组得到．