Question

8．若关于x的方程x²-x-（m+1）=0在[-1，1]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 法1：设f（x）=x²-x-（m+1），求出对称轴为x=$\frac{1}{2}$，从而要满足条件，m需满足$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（-1）（f（1）≤0}\end{array}\right.$，这样解关于m的不等式组即可得出m的取值范围．
法2：分离参数m=x²-x-1，x∈[-1，1]．对“=”右端配方可得m的取值范围．

解答 解：法1：设f（x）=x²-x-（m+1），对称轴x=$\frac{1}{2}∈[-1，1]$；
∴m要满足：
$\left\{\begin{array}{l}{△=4m+5≥0}\\{f（-1）=1-m≥0}\\{f（1）=-m-1≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△=4m+5＞0}\\{f（-1）（f（1）=（1-m）（-m-1）≤0}\end{array}\right.$；
解得$-\frac{5}{4}≤m≤1$；
∴m的取值范围为：$[-\frac{5}{4}，1]$．
法2：由原方程得$m={x}^{2}-x-1=（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}$$≥-\frac{5}{4}$；
∴x=-1时，m取最大值1；
∴m的取值范围为：$[-\frac{5}{4}，1]$．

点评 考查一元二次方程解的情况和对应的二次函数与x轴交点的情况的关系，判别式的取值和二次函数与x轴交点情况的关系，要熟悉并利用二次函数的图象．