Question

10．已知a＞0，b＞0，a+b=1，（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²的最小值（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． $\frac{25}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²=（a²+b²）+（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）+6，同时利用基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²
=（a+$\frac{a+b}{a}$）²+（b+$\frac{a+b}{b}$）²
=（a+1+$\frac{b}{a}$）²+（b+1+$\frac{a}{b}$）²
=（a²+1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+2a+2b+$\frac{2b}{a}$）+（b²+1+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+2b+2a+$\frac{2a}{b}$）
=（a²+b²）+（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）+（1+2a+2b+1+2b+2a）
=（a²+b²）+（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$）+6
≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}{b}}$+6=$\frac{25}{2}$
当且仅当a=b时以上三式同时取等号，
故选：D

点评 本题考查基本不等式求最值，展开并重新分组为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．