Question

5．方程|x²+2x-3|=a（x-2）有四个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 作出函数y=|x²+2x-3|和函数y=a（x-2）的图象，当恒过定点（2，0）的直线y=a（x-2）和y=|x²+2x-3|在（-1，1）相切，运用导数求得此时的a，由图象观察即可得到a的范围．

解答 解：作出函数y=|x²+2x-3|和函数y=a（x-2）的图象，
当恒过定点（2，0）的直线y=a（x-2）和y=|x²+2x-3|在（-1，1）相切，
设切点A（m，n），则y=|x²+2x-3|=-x²-2x+3的导数为-2x-2，
即有-2m-2=a，n=a（m-2）=-m²-2m+3，解得a=2$\sqrt{5}$-6，
由图象可得直线在切线和直线y=0之间时，有4个交点，
即有实数a的取值范围是（2$\sqrt{5}$-6，0）．

点评 本题考查函数和方程的关系，考查数形结合的思想方法，画出函数的图象是解题的关键．