Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx+（1-b）x+a，且f（x）的图象过点（1，$\frac{3}{2}$-b）．
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（2）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）的两个极值点，若b≥$\frac{7}{2}$，求f（x₁）-f（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导，函数f（x）存在单调递减区间，则f′（x）＜0 有解，只需b-1大于x+$\frac{1}{x}$的最小值．
（2）先求a值，利用极值点定义得出x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，计算f（x₁）-f（x₂），看成一函数，利用单调性求函数的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）存在单调递减区间
∴f′（x）＜0 有解  x＞0
∴f′（x）=x+$\frac{1}{x}$+（1-b）＜0 有解
∵b-1＞x+$\frac{1}{x}$≥2
∴b＞3
（2）由f（x）的图象过点（1，$\frac{3}{2}$-b）得a=0
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx+（1-b）x
f′（x）=x+$\frac{1}{x}$+（1-b）=$\frac{{x}^{2}+（1-b）x+1}{x}$
∵x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点
∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1 0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$（x₁²-x₂²）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，0＜t＜1
令h（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$）
∴h′（t）=$\frac{-（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0
∴h（t）在（0，1）上递减
∵b≥$\frac{7}{2}$得b-1≥$\frac{5}{2}$
∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$≥$\frac{17}{4}$
∴t+$\frac{1}{t}$≥$\frac{17}{4}$
∴（4t-1）（t-4）≥0
∴0＜t≤$\frac{1}{4}$
∴h（t）≥h（$\frac{1}{4}$）=$\frac{15}{8}$-ln4
故f（x₁）-f（x₂）的最小值为$\frac{15}{8}$-ln4．

点评 此题考察函数极值点的定义，函数的构造，利用导数判断单调性，求函数的最值．