Question

8．在四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD．

Answer 1

分析 作BC的中点G，连接EG，FG，先证明出EG⊥GF，进而证明出BD⊥EG，最后根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面ACD．

解答 证明：作DC的中点G，连接EG，FG，
∴则EG=$\frac{1}{2}$AC=GF=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴EG²+GF²=$\frac{1}{2}$AC²=EF²，
∴FG⊥FE，
∵EG∥AC，FG∥BD，∠BDC=90°，
∴BD⊥GE，BD⊥AC，
∵BD⊥DC，DC?平面ACD，AC?平面ACD，AC∪CD=C，
∴BD⊥平面ACD．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推论论证能力，证明的关键是找到两条相交的与之垂直的直线，属于中档题．