Question

4．设f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，g（x）=（a²+e）e^x+1（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）单调区间；
（2）若?x₁，x₂∈[0，2]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），求出f（x）的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）分别求出f（x），g（x）的导数，得到函数的单调性，进而分别求出f（x）和g（x）的值域，问题转化为求g_min（x）-f_max（x）＜1即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=（x²+x-5）e^x，
f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-5）e^x=（x²+3x-4）e^x=（x+4）（x-1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-4，令f′（x）＜0，解得：-4＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-4），（1，+∞）递增，在（-4，1）递减；
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x-（a+3）]e^x=（x-1）（x+a+3）e^x（a＞0），
由f′（x）＜0⇒-a-3＜x＜1，f′（x）＞0⇒x＞1或x＜-a-3
∴f（x）单调减区间为（-a-3，1），单调增区间为（1，+∞），（-∞，-a-3）；
∴f（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增，
∴f（x）_最小值=f（1）=（-a-2）e，而f（0）=-2a-3＜0，f（2）=e²＞0，
∴f（x）_最大值=f（2）=e²，
∴f（x）在[0，2]的值域是F=[-（a+2）e，e²]；
g′x）=（a²+e）e^x+1（a＞0），
∴g（x）在[0，2]单调递增，
而g（0）=（a²+e）e，g（2）=（a²+e）e³（a＞0）
∴g（x）在[0，2]的值域是：G=[（a²+e）e，（a²+e）e³）；
若F∩G≠∅，则一定存在x₁，x₂∈[0，2]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立．
若F∩G=∅，则只要|f_max（x）-g_min（x）|＜1或|g_max（x）-f_min（x）|＜1，
由于（a²+e）e³＞（a²+e）e＞e²＞-（a+2）e，
∴只需g_min（x）-f_max（x）＜1即可，
即（a²+e）e-e²＜1，解得：0＜a＜1．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．