Question

15．若关于x的方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三个实根x₁，x₂，x₃，且满足x₁≤x₂≤x₃，则a的最小值为-$\frac{5}{27}$．

Answer 1

分析 由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，构造函数f（x）=x³-x²-x，利用导数求出函数f（x）的极值，即可得到结论．

解答 解：由x³-x²-x+a=0得-a=x³-x²-x，
设f（x）=x³-x²-x，
则函数的导数f′（x）=3x²-2x-1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-$\frac{1}{2}$，
此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，此时函数单调递减，
即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1-1-1=-1，
在x=-$\frac{1}{3}$时，函数取得极大值
f（-$\frac{1}{3}$）=（-$\frac{1}{3}$）³-（-$\frac{1}{3}$）²-（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$，
要使方程x³-x²-x+a=0（a∈R）有三个实根x₁，x₂，x₃，且满足x₁≤x₂≤x₃，
则-1≤-a≤$\frac{5}{27}$，
即-$\frac{5}{27}$≤a≤1，
即有a的最小值为-$\frac{5}{27}$．
故答案为：-$\frac{5}{27}$．

点评 学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题．