Question

3．如果正整数m可以表示为x²-4y²（x，y∈Z），那么称m为“好数”，问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为881．

Answer 1

分析 设x²-4y²=m=ab，k∈Z，（b＞a），则有（x+2y）（x-2y）=ab，得到b-a是4的倍数即可，分别对a为奇数、单偶数、双偶数的情况讨论，即可得到答案．

解答 解：设x²-4y²=m=ab，k∈Z，（b＞a），则有（x+2y）（x-2y）=ab．
所以$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=b}\\{x-2y=a}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{1}{2}$（a+b），y=$\frac{1}{4}$（b-a）．
可见，b-a是4的倍数即可． 分别对a为奇数、单偶数、双偶数的情况讨论．
（1）a为奇数2p+1时（p≥0），m=ab=（2p+1）[（2p+1）+4q]=4（p²+p+2pq+q）+1，即m是（4k+1）型（k≥0）．由2013=1+4（n-1），解得n=504；
（2）a为单偶数4p+2时（p≥0），m=ab=（4p+2）[（4p+2）+4q]=8（2p²+2p+2pq+q）+4，m是（8k+4）型，（k≥0）．由2012=4+8（n-1），解得n=252；
（3）a为双偶数4p时（p≥0），m=ab=4p（4p+4q）=16p（p+q），m是16k型，（k≥0）． 由2000=16（n-1），解得n=125；
0到2014内可表示为x²-4y²的自然数m的个数为504+252+125=881．
故答案为：882．

点评 本题考查了分类讨论以及数的整除的问题，属于难题．