Question

1．若方程|x²+4x+3|=x+4a有且仅有三个实数根，求实数a的值．

Answer 1

分析 作出函数图象，写出抛物线x轴下方部分关于x轴对称的抛物线解析式，再与直线y=x+4a联立求出有一个交点时的a值，然后写出有3个解时的k值即可

解答 解：如图，x²+4x+3=（x+3）（x+1）=0，
解得x₁=-3，x₂=-1，
所以抛物线y=（x+3）（x+1）与x轴的交点坐标为（-3，0），（-1，0），
x=-3时，-3+4a=0，解得a=$\frac{3}{4}$，
原抛物线x轴下方部分关于x轴对称的抛物线解析式为y=-（x+3）（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x+3）（x+1）}\\{y=x+4a}\end{array}\right.$，
消掉y得，x²+5x+3+4a=0，
△=5²-4×1×（3+4a）=0，
解得a=$\frac{13}{16}$，
所以方程有且仅有三个实数根时，a的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{13}{16}$．

点评 本题考查了二次函数图象，一次函数图象，根据绝对值的性质要注意x轴下方部分的抛物线关于x轴对称，难点在于联立函数解析式求直线与抛物线关于x轴对称部分有一个交点时的情况．