Question

11．（1）由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的六位数，求其中数字0与1相邻且数字2与3不相邻的六位数的个数；
（2）已知在（$\sqrt{x}+\frac{1}{{2}^{4}\sqrt{x}}$）ⁿ展开式中，前三项的系数成等差数列，求（2x+1）^n-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$）展开式中含x²的项．

Answer 1

分析 （1）利用间接法，即可求解；
（2）由已知得2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，解得n=8，即可求（2x+1）^n-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$）展开式中含x²的项．

解答 解：（1）若不考虑数字0是否在首位，有${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$${A}_{4}^{2}$种组成方法，其中0在首位有${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$种组成方法，
∴共有${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$${A}_{4}^{2}$-${A}_{2}^{2}$${A}_{3}^{3}$=132个；
（2）由已知得2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，解得n=8或n=1（舍去），
则（2x+1）^n-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$）=（2x+1）^8-3（x${\;}^{2}-\frac{2}{x}+\frac{1}{{x}^{4}}$），
∴展开式中含x²的项是[1+${2}^{3}•{C}_{5}^{3}•（-2）$]x²=-159x²．

点评 本题考查排列知识的运用，考查二项式定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．