Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2sinx）．
（1）求f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上的最大值，并求出f（x）取最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）直接由数量积的坐标运算求得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1，利用辅助角公式化积后求得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1的最小正周期；
（2）在（1）中求出的函数解析式内，由x的范围求得f（x）的最大值，并得到f（x）取最大值时x的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1=2cos²x+2sinxcosx-1=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$]．
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时，$f（x）_{max}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数最值的求法，是基础题．