Question

5．已知数列{a_n}前n项和S_n，且-3，S_n，a_n+1成等差数列，n∈N₊，a₁=3，函数f（x）=log₃x．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）{b_n}满足b_n=$\frac{1}{（n+3）[f（{a}_{n}）+1]}$，设{b_n}的前n项和为P_n，解不等式P_n≤$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{312}$．

Answer 1

分析 （1）由-3，S_n，a_n+1成等差数列，可得2S_n=a_n+1-3，利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）函数f（x）=log₃x，a_n=3ⁿ，可得f（a_n）=n．于是b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，利用“裂项求和”可得P_n，代入化简即可解出．

解答 解：（1）∵-3，S_n，a_n+1成等差数列，
∴2S_n=a_n+1-3，
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-3，
2a_n=a_n+1-a_n，
化为a_n+1=3a_n．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵函数f（x）=log₃x，a_n=3ⁿ，
∴f（a_n）=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n．
b_n=$\frac{1}{（n+3）[f（{a}_{n}）+1]}$=$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
∴{b_n}的前n项和P_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$．
=$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．
由$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{312}$≤$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$，
化为2（n+2）（n+3）≤312，
即（n+2）（n+3）≤12×13，
因此不等式的解是n≤10．
∴不等式的解集为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．