Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-丨x+1丨+3，x≤0}\\{f（x-4）+2，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）-3=kx有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是（$\frac{4}{7}$，$\frac{2}{3}$）∪{$\frac{1}{4}$}．

Answer 1

分析 化简f（x）-3=$\left\{\begin{array}{l}{-|x+1|，x≤0}\\{f（x-4）-1，x＞0}\end{array}\right.$，作函数f（x）-3与y=kx的图象，由几何意义求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-丨x+1丨+3，x≤0}\\{f（x-4）+2，x＞0}\end{array}\right.$，
∴f（x）-3=$\left\{\begin{array}{l}{-|x+1|，x≤0}\\{f（x-4）-1，x＞0}\end{array}\right.$，
作函数f（x）-3与y=kx的图象如下，

可知直线m的斜率k_m=$\frac{2-0}{3-0}$=$\frac{2}{3}$，直线n的斜率k_n=$\frac{4}{7}$，
直线l的斜率k_l=$\frac{1}{4}$；
故实数k的取值范围是（$\frac{4}{7}$，$\frac{2}{3}$）∪{$\frac{1}{4}$}．
故答案为：（$\frac{4}{7}$，$\frac{2}{3}$）∪{$\frac{1}{4}$}．

点评 本题考查了数形结合的思想应用，属于中档题．