Question

2．求值域：y=$\frac{sinx}{2-cosx}$．

Answer 1

分析 由y=$\frac{sinx}{2-cosx}$可得：sinx+ycosx=2y，利用辅助角公式可得到关于角x的正弦，利用正弦函数的有界性即可求得答案．

解答 解：∵y=$\frac{sinx}{2-cosx}$，
∴sinx+ycosx=2y，
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（x+φ）=2y（其中tanφ=y），
∴sin（x+φ）=$\frac{2y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$，
∵|sin（x+φ）|≤1，
∴$\frac{4{y}^{2}}{1+{y}^{2}}$≤1，
∴y²≤$\frac{1}{3}$．
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴函数y=$\frac{sinx}{2-cosx}$的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，考查辅助角公式与正弦函数的有界性，考查转化与方程思想，属于中档题．