Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）．
（1）求f（$\frac{3π}{2}$）的值；
（2）已知α（0，π），f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，求sin（α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式，求得f（$\frac{3π}{2}$）的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得cosα和sinα的值，再利用两角和差的三角公式求得sin（α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$），可得f（$\frac{3π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos（3π+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵α（0，π），f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos（α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$cosα=$\frac{2}{3}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
sin（α-$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$-cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{14}-2}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的三角公式，属于基础题．