Question

15．在△ABC中，已知2cosB=$\frac{c}{a}$，则“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的（　　）

• A． 充要条件
• B． 充分不必要条件
• C． 必要不充分条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 由2cosB=$\frac{c}{a}$结合正弦定理，诱导公式和两角和与差的正弦公式，可得A=B，进而分析“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”与“△ABC为直角三角形”的充分性和必要性，可得答案．

解答 解：∵2cosB=$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$，
∴2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴-sinAcosB+cosAsinB=sin（B-A）=0，
故A=B，
若“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”，则“2sinAsinC=$\frac{sinC}{sinB}$”，则2sinAsinB=2sin²A=1，解得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即A=B=45°，则C为直角，“△ABC为直角三角形”，
故“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的充分条件；
若“△ABC为直角三角形”，则“△ABC为等腰直角三角形”，则C为直角，则“2sinAsinC=$\sqrt{2}$=$\frac{c}{b}$”，
故“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的必要条件；
综上“2sinAsinC=$\frac{c}{b}$”是“△ABC为直角三角形”的充分必要条件；
故选：A

点评 本题考查的知识点是正弦定理，诱导公式和两角和与差的正弦公式，充要条件，难度中档．