Question

13．已知数列{a_n}前n项和是S_n，且a_n=3（1-S_n）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂（1-S_n+1）（n∈N^*），记数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$}前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=2^-2n-2．可得b_n=-2n-2．于是$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（-2n-2）（-2n-4）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=3（1-S_n）（n∈N^*），∴当n=1时，a₁=3（1-a₁），解得a₁=$\frac{3}{4}$．
当n≥2时，a_n-1=3（1-S_n-1），∴a_n-a_n-1=-3a_n，化为a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{3}{4}$，公比为$\frac{1}{4}$．
∴a_n=$\frac{3}{4}$×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$=$3×\frac{1}{{4}^{n}}$．
（2）由（1）可得：1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{3}×3×\frac{1}{{4}^{n+1}}$=2^-2n-2．
∴b_n=log₂（1-S_n+1）=-2n-2．
∴$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（-2n-2）（-2n-4）}$=$\frac{1}{4（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$}前n项和为T_n=$\frac{1}{4}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{n}{8（n+2）}$．

点评 本题考查了递推式、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．