Question

7．设关于x的方程$\frac{|x|}{x+4}$=kx²．
（1）若该方程有四个不同的实数根，求实数k的取值范围；
（2）求这个方程的解．

Answer 1

分析 （1）方程f （x）=kx²有四个不同的实数解，代入函数表达式，进行探究，由于方程带有绝对值，故需要分类去绝对值，在每一类中找出满足方程有两解的参数的值，合并可得；
（2）关于x的方程$\frac{|x|}{x+4}$=kx²①由方程的形式可以看出，x=0恒为原方程①的一个解，即有|x|（x+4）=$\frac{1}{k}$（x≠0），画出y=|x|（x+4）的图象，对k讨论，再由二次方程的解法，即可得到所求解．

解答 解：（1）原方程$\frac{|x|}{x+4}$=kx²①，
由方程的形式可以看出，x=0恒为原方程①的一个解．
当x＜0且x≠-4时方程①有解，则$\frac{-x}{x+4}$=kx²即kx²+4kx+1=0，
当k=0时，方程kx²+4kx+1=0无解；
当k≠0时，△=16k²-4k≥0即k＜0或k≥$\frac{1}{4}$时，方程kx²+4kx+1=0有解．
设方程kx²+4kx+1=0的两个根分别是x₁，x₂则x₁+x₂=-4，x₁x₂=$\frac{1}{k}$．
当k＞$\frac{1}{4}$时，方程kx²+4kx+1=0有两个不等的负根；
当k=$\frac{1}{4}$时，方程kx²+4kx+1=0有两个相等的负根；
当k＜0时，方程kx²+2kx+1=0有一个负根；
③当x＞0时，方程①有解，则$\frac{x}{x+4}$=kx²，kx²+4kx-1=0，
当k=0时，方程kx²+4kx-1=0无解；
当k≠0时，△=16k²+4k≥0即k＞0或k≤-$\frac{1}{4}$时，方程kx²+4kx-1=0有解．
设方程kx²+4kx-1=0的两个根分别是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-4，x₃x₄=-$\frac{1}{k}$，
∴当k＞0时，方程kx²+4kx-1=0有一个正根，
当k≤-$\frac{1}{4}$时，方程kx²+4kx-1=0没有正根．
综上可得，当k∈（$\frac{1}{4}$，+∞）时，方程f （x）=kx²有四个不同的实数解．
（2）关于x的方程$\frac{|x|}{x+4}$=kx²①
由方程的形式可以看出，x=0恒为原方程①的一个解
即有|x|（x+4）=$\frac{1}{k}$（x≠0），
画出y=|x|（x+4）的图象，
当x=-2时，y=4，即B（-2，4），
1）当k=0时，方程的解为x=0；
2）当k＜0时，当x＜0时，-x（x+4）=$\frac{1}{k}$，
解得x=-2-$\sqrt{4-\frac{1}{k}}$，
方程的解为x=0或x=-2-$\sqrt{4-\frac{1}{k}}$；
3）当k＞$\frac{1}{4}$时，方程有4个解．
当x＞0时，由x（x+4）=$\frac{1}{k}$，可得x=-2+$\sqrt{4+\frac{1}{k}}$；
当x＜0时，由-x（x+4）=$\frac{1}{k}$，可得x=-2±$\sqrt{4-\frac{1}{k}}$，
即有方程的解为x=0或x=-2+$\sqrt{4+\frac{1}{k}}$或x=-2±$\sqrt{4-\frac{1}{k}}$；
4）当0＜k＜$\frac{1}{4}$时，方程有两解．
x＞0时，x（x+4）=$\frac{1}{k}$，解得x=-2+$\sqrt{4+\frac{1}{k}}$．
即有方程的解为x=0或x=-2+$\sqrt{4+\frac{1}{k}}$．

点评 本题考查方程的根的判断和求解，考查函数和方程的关系，注意运用分类讨论和数形结合的思想方法，考查运算求解能力，属于中档题和易错题．