Question

已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x₁

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)记f(x)在区间[0，π](n∈N*)上的最小值为b_x令a_n＝ln(1＋n)－b_x．

(Ⅲ)如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

(Ⅳ)求证：

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)因为f(x)＝ln(1＋x)－x，所以函数定义域为(－1，＋)，且f〃(x)＝－1＝． 　　由＞0得－1＜x＜0，f(x)的单调递增区间为(－1，0)； 　　由＜0得x＞0，f(x)的单调递增区间为(0，＋)． 　　(Ⅱ)因为f(x)在[0，n]上是减函数，所以bn＝f(n)＝ln(1＋n)－n， 　　则an＝ln(1＋n)－bn＝ln(1＋n)－ln(1＋n)＋n＝n． 　　(i)＞ 　　又lim， 　　因此c＜1，即实数c的取值范围是(－，1)． 　　(Ⅱ)由(i)知 　　因为[]2 　　 　　所以＜(nN*)， 　　则＜ 　　 　　N*) 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)因为f(x)在上是减函数，所以 　　则 　　(ⅰ)因为对n∈N*恒成立．所以对n∈N*恒成立． 　　则对n∈N*恒成立． 　　设n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立． 　　考虑 　　因为＝0， 　　所以内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小， 　　又因为＝1． 　　所以对一切因此c≤1，即实数c的取值范围是(－∞，1]． 　　(ⅱ)由(ⅰ)知 　　下面用数学归纳法证明不等式 　　①当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＜右边．不等式成立． 　　②假设当n＝k时，不等式成立．即 　　当n＝k＋1时， 　　 　　＝ 　　即n＝k＋1时，不等式成立 　　综合①、②得，不等式成立． 　　所以 　　 　　即． 　　本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分．