Question

5．下面有三个命题：
（1）函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函数；
（2）函数f （x）=|2cos²x-1|的最小正周期是π；
（3）函数f （x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数；
其中正确命题的序号是（1）．

Answer 1

分析 利用诱导公式化简（1）后判断；利用倍角公式化简（2），再由y=|cos2x|的周期为y=cos2x周期的一半判断（2）；求出函数f （x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）的增区间判断（3）．

解答 解：（1）函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{2}{3}x$是偶函数，命题（1）正确；
（2）函数f （x）=|2cos²x-1|=|cos2x|，最小正周期是$\frac{π}{2}$，命题（2）错误；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$，
取k=0，得$-\frac{3π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$，∴函数f （x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上不是增函数．
∴正确命题的序号是（1）．
故答案为：（1）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，关键是对三角函数性质的记忆，是基础题．