Question

（本题12分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

1）利用坐标运算

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”，该命题是假命题.  

【解析】

试题分析：1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴……3分

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得ky²－2y－6k=0,则y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂², 

∴=x₁x₂+y₁y₂=="3."

综上所述, 命题“......”是真命题.

解法二：设直线l的方程为my =x－3与="2x" 联立得到y²-2my-6=0   =x₁x₂+y₁y₂

=(my₁+3) (my₂+3)+ y₁y₂=(m²+1) y₁y₂+3m(y₁+y₂)+9=(m²+1)× (-6)+3m×2m+9＝3 

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”，该命题是假命题.  例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y = (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.……12分

考点：本题主要考查抛物线的几何性质，直线好抛物线的位置关系，命题的概念及四种命题的关系，向量的坐标运算。

点评：本题以命题的真假探究为背景，重点考查直线与抛物线的位置关系，此类问题，往往通过联立方程组，应用韦达定理，实现整体代换，简化解题过程。