Question

收集本地区教育储蓄信息，有一公民的储蓄方式为：第一年末存入a₁元，以后每年末存入的数目均比上一年增加d（d＞0）元，因此，历年所存入的教育储蓄金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，政府给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，也不征利息税．这就是说，如果固定年利率为p（p＞0），那么，在第n年末，第一年所存入的储蓄金就变为a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的储蓄金就变为a₂（1+p）^n-2，…，以W_n表示到第n年末所累计的储蓄金总额．
（1）写出W_n与W_n-1（n≥2）的递推关系式；
（2）是否存在数列{A_n}，{B_n}使W_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列，说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根据第n年末，第一年所存入的储蓄金就变为a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的储蓄金就变为a₂（1+p）^n-2，…，可求W_n与W_n-1（n≥2）的递推关系式；
（2）根据（1）的结论，反复使用，可得W_n=a₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_n，两边同乘以（1+p），利用错位相减法求和，结合等差数列等比数列的定义，可得结论．

解答：解：（1）根据第n年末，第一年所存入的储蓄金就变为a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的储蓄金就变为a₂（1+p）^n-2，…，可知W₁=a₁，W₂=W₁（1+p）+a₂，W_n=W_n-1（1+p）+a_n（n≥2）…4分
（2）W₁=a₁，W_n=W_n-1（1+p）+a_n，对n≥2反复使用上述关系式，
得W_n=W_n-1（1+p）+a_n=[W_n-2（1+p）+a_n-1]（1+p）+a_n=W_n-2（1+p）²+（1+p）a_n-1+a_n
…=W₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_nW_n=a₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_n①…6分
（1+p）W_n=a₁（1+p）ⁿ+a₂（1+p）^n-1+…+a_n-1（1+p）²+a_n（1+p）②
②-①pW_n=a₁（1+p）ⁿ+d（1+p）^n-1+d（1+p）^n-2…+d（1+p）-a_n=

d

p

[(1+p)n-1-p]+a1(1+p)n-an…8分
即Wn=

a1p+d

p2

(1+p)n-

d

p

n-

a1p+d

p2

如果记An=

a1p+d

p2

(1+p)n，Bn=-

d

p

n-

a1p+d

p2

，…10分
则T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以

a1p+d

p2

(1+p)为首项，以（1+p）（p＞0）为公比的等比数列；{B_n}是以-

a1p+d

p2

-

d

p

为首项，-

d

p

为公差的等差数列．…14分

点评：本题的考点是数列的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数列模型，再利用数列的求和方法进行求和．判断一个数列是否是等差（比）数列，我们有如下办法：①定义法②通项公式法（如本题）③前n项和公式法④等差（比）中项法．