Question

给出以下四个命题中，真命题的个数为（　　）
①

∫

2 -2

[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=2π；
②函数y=3•2^x+1的图象可以由函数y=2^x的图象仅通过平移得到；
③函数y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

与y=lntan

x

2

是同一函数；
④在△ABC中，若

AB • BC

3

=

BC • CA

2

=

CA • AB

1

，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①利用圆的面积计算公式与定积分的几何意义可得

∫

2 -2

4-x2

dx=2π，而函数f（x）=lg（

1+x2

-x）是奇函数，可得

∫

2 -2

lg(

1+x2

-x)dx=0．即可判断出；
②函数y=3•2^x+1的图象可以由函数y=2^x的图象通过伸缩变换可得y=3•2^x，因此不可能仅通过平移得到；
③利用倍角公式与对数的性质可得函数y=ln

1-cosx 1+cosx

=ln|tan

x

2

|与y=lntan

x

2

的函数定义域不同，即可判断出；
④在△ABC中，由

AB • BC

3

=

BC • CA

2

=

CA • AB

1

，利用数量积定义与正弦定理可得

sinAsinCcosB

3

=

sinAsinBcosC

2

=

sinBsinCcosA

1

，可得tanA：tanB：tanC=6：2：3．

解答： 解：①：∵

∫

2 -2

4-x2

dx=

1

2

π×22=2π，∵函数f（x）=lg（

1+x2

-x）满足f（-x）=-f（x）是奇函数，∴

∫

2 -2

lg(

1+x2

-x)dx=0．
∴

∫

2 -2

[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=2π，正确；
②函数y=3•2^x+1的图象可以由函数y=2^x的图象通过伸缩变换可得y=3•2^x，再经过平移变换可得y=3•2^x+1，因此不可能仅通过平移得到，不正确；
③函数y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

=ln

1-cosx 1+cosx

=ln|tan

x

2

|与y=lntan

x

2

的函数定义域不同，不是同一函数，不正确；
④在△ABC中，∵

AB • BC

3

=

BC • CA

2

=

CA • AB

1

，∴

-accosB

3

=

-abcosC

2

=

-bccosA

1

，
由正弦定理可得

sinAsinCcosB

3

=

sinAsinBcosC

2

=

sinBsinCcosA

1

，则tanA：tanB：tanC=6：2：3．因此不正确．
综上可得：只有①正确．
故选：A．

点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、定积分的计算、三角函数变换、函数的三要素、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．