Question

（文科）已知直线l：y=

3

x和点P( 

3

，1)，过点P的直线m与直线l在第一象限交于点Q，与x轴交于点M，若△OMQ为等边三角形．
（I）求点Q的坐标；
（II）求△OMQ的内切圆方程．

Answer 1

分析：（I）因为直线l：y=

3

x的倾斜角为60°，要使△OMQ为等边三角形，直线m的斜率应为-

3

，利用斜率公式可求点Q的坐标；
（II）由于等边三角形的内切圆的圆心，也是三角形的重心，故可利用重心坐标公式，求出圆心坐标，从而得到圆的方程．

解答：解：（I）因为直线l：y=

3

x的倾斜角为60°，要使△OMQ为等边三角形，直线m的斜率应为-

3

设Q(x，

3

x)，则

3 x-1

x- 3

=-

3

，解得x=

2

3

3

，∴Q(

2

3

3

，2)
（II）由（I）得直线m的方程为y-1=-

3

(x-

3

)
令y=0，得x=

4

3

3

∴M(

4

3

3

，0)
∵等边三角形的内切圆的圆心，也是三角形的重心
设圆心坐标为（x，y）
∴根据三角形的重心坐标公式可得

x= 2 3 3 y= 2 3

又半径为

2

3

∴所求圆的方程为(x-

2

3

3

)2+(y-

2

3

)2=

4

9

点评：本题以直线为载体，考查直线的斜率公式，考查圆的方程，属于中档题．