Question

椭圆

x2

25

+

y2

16

=1．点A（2，1），B（3，0），点P为椭圆上的动点．则|PA|+|PB|的最大值

10+

26

．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（-3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1，
∴焦点坐标为B（3，0）和B'（-3，0）
连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10-|PB'|
因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+

(2+3)2+(1-0)2

=10+

26

．
当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立
综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为10+

26

故答案为：10+

26

．

点评：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．