Question

20．已知直线l：y=x+m交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1于不同的A、B两点，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，即可得到最大值．

解答 解：设l：y=x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
整理得5x²+6mx+3m²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{6m}{5}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{5}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{36{m}^{2}}{25}-\frac{12{m}^{2}-24}{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$•$\sqrt{120-24{m}^{2}}$．
由△＞0，得36m²-20（3m²-6）＞0，
解得m²＜5，
∴当m=0时，|AB|_max=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查椭圆弦长最大值的求法，解题时要注意弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．