Question

【题目】已知函数，其中常数．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，当时，试问是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， .

【解析】试题分析：（1）先求得定义域求导得，由于，所以增区间为；（2）当时， ，利用导数求得切线，两式相减得，利用导数求得以当时， 存在“类对称点”.

试题解析：

（1）函数的定义域为，∵，∴，∵，∴，令，即，∵，∴或，

所以函数的单调递增区间是；

（2）当时， ，

∴， ，

令，

则，

，当时， 在上单调递减．

∴当时， ，

从而有时， ，

当时， 在上单调递减，

∴当时， ，

从而有时， ，

∴当时， 不存在“类对称点”．

当时， ，

∴在上是增函数，故，

所以当时， 存在“类对称点”．