Question

（1）一双曲线以椭圆16x²+25y²=400的焦点为顶点，椭圆的长轴端点为焦点，求双曲线的方程．
（2）若抛物线y²=2px（p＞0）上一点A到准线及对称轴的距离分别为10和6，求A点的横坐标及抛物线的方程．

Answer 1

解：（1）∵椭圆16x²+25y²=400的标准形式为
∴椭圆的左右顶点坐标为（5，0）和（-5，0）
∵椭圆的半焦距c==3，
∴椭圆的焦点坐标为（3，0）和（-3，0）
∵双曲线的焦点是椭圆和左右顶点，顶点是椭圆的左右焦点
∴双曲线的b²=25-9=16，可得双曲线的方程是：-=1；
（2）∵抛物线y²=2px（p＞0）上一点A到对称轴的距离为6，
∴设A（x₀，y₀），y₀²=2px₀且|y₀|=6，可得2px₀=36…（*）
∵点A到准线的距离为10，
∴x₀+=10，与（*）联解，可得或
由此可得A点的横坐标为9，抛物线的方程是y²=4x；或A点的横坐标为1，抛物线的方程是y²=36x．
分析：（1）根据椭圆的基本概念，不难得到双曲线的顶点坐标和焦点坐标，再利用平方关系算出b的平方，即可得到所求双曲线的方程．
（2）设A（x₀，y₀），由抛物线上点A到对称轴的距离为6，得|y₀|=6．由此结合抛物线的标准方程和定义，建立x₀和p的方程组，解之即可得到A点的横坐标及抛物线的方程．
点评：本题第1问考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质的知识；第2问考查了抛物线的定义与简单几何性质，两题都属于基础题．