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(2013•汕头一模)已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,离心率e=
1
2

(1)设抛物线C2:y2=4x的准线与x轴交于F1,求椭圆的方程;
(2)设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,b是双曲线C3在第一象限上任意-点,问是否存在常数λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由抛物线准线方程可得椭圆左焦点,从而得c值,再由离心率得a,由b=
a2-c2
得b;
(2)可先通过垂直情况求出λ=2,然后作出一般证明.证明如下:设椭圆的半焦距为c,由离心率及双曲线与椭圆的关系可得双曲线C3的方程为
x2
c2
-
y2
3c2
=1
,A(2c,0),设B(x0,y0)(x0>0,y0>0),①当AB⊥x轴时,易求∠BAF1=
π
2
,利用斜率公式可得tan∠BF1A,从而求得∠BF1A=
π
4
,得证;②当AB不与x轴垂直时,即x0≠2c时,利用斜率公式表示出tan∠BF1A及tan∠BAF1,根据倍角公式可求证tan2∠BF1A=tan∠BAF1,再由∠BAF1与2∠BF1A的范围即可证得∠BAF1=2∠BF1A,综合①②可得结论;
解答:解:(1)因为抛物线C2的准线方程为x=-1,
所以椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),所以椭圆的半焦距c=1,
又椭圆的离心率e=
1
2

所以a=2,b=
a2-c2
=
3

所以椭圆C1的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)存在常数λ=2,使∠BAF1=2∠BF1A恒成立,
证明如下:设椭圆的半焦距为c,
因为e=
c
a
=
1
2
,所以a=2c,b=
3
c,
所以双曲线C3的方程为
x2
c2
-
y2
3c2
=1
,A(2c,0),
设B(x0,y0)(x0>0,y0>0),则
x02
c2
-
y02
3c2
=1

①当AB⊥x轴时,x0=2c,y0=3c,则tan∠BF1A=
y0
x0+c
=
3c
3c
=1,
又∠BF1A∈(0,
π
2
)
,所以∠BF1A=
π
4

所以∠BAF1=
π
2
=2∠BF1A;
②当AB不与x轴垂直时,即x0≠2c时,
因为tan∠BAF1=
y0
2c-x0
=
-y0
x0-2c
,tan∠BF1A=
y0
x0+c

所以tan2∠BF1A=
2tan∠BF1A
1-tan2∠BF1A
=
2y0
x0+c
1-(
y0
x0+c
)2

又因为y02=3c2(
x02
c2
-1)=3(x02-c2)

所以tan2∠BF1A=
2y0(x0+c)
(x0+c)2-3(x02-c2)
=
-y0
x0-2c
=tan∠BAF1
又∠BAF1与2∠BF1A同在(0,
π
2
)或(
π
2
,π)内,
所以∠BAF1=2∠BF1A.
综上可知存在λ=2,使得∠BAF1=2∠BF1A恒成立.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的方程,考查直线的斜率公式,考查分类讨论思想,考查学生对问题的分析解决能力,先用特殊情况探求λ值,再作出一般证明是解决(2)问的关键.
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