Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-1，当n≥3，n∈N^*时，

an

n-1

-

an-1

n-2

=

3

(n-1)(n-2)

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得n≥k时，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4对任意实数λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在定点A，使得三点Pn(an，2an+5)、Pm(am，2am+5)、Pk(ak，2ak+5)（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等？若存在，求出点A及正整数n、m、k；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）构造新数列，利用叠加法，即可确定数列{a_n}的通项公式；
（2）先求和，进而将不等式等价变形，利用不等式对任意实数λ∈[0，1]恒成立，可得不等式组，从而可得结论；
（3）由题意，三点满足方程y=2^x+5，函数为增函数，当n＞m＞k≥2时，0＜kPkPm＜kPnPm，从而对应垂直平分线的斜率k₁＜k₂＜0，故对应垂直平分线不可能相交于x轴，由此可得结论．

解答：解：（1）n≥3，n∈N^*时，设bn=

an

n-1

，则bn-bn-1=

3

(n-1)(n-2)

=3(

1

n-2

-

1

n-1

)
∴b_n=b₃+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）=b₃+3（

1

2

-

1

n-1

）
∵

an

n-1

-

an-1

n-2

=

3

(n-1)(n-2)

，∴

a3

2

-

a2

1

=

3

2

∵a₂=-1，∴b3=

a3

2

=

1

2

∴b_n=

1

2

+3（

1

2

-

1

n-1

）=

2n-5

n-1

（n≥3）
∴a_n=2n-5（n≥3）
n=2时，满足上式；n=1时，不满足上式
∴an=

1，n=1 2n-5，n≥2

；
（2）S_n=

1，n=1 n2-4n+4，n≥2

当n=1时，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4可化为λ≥

2

5

，不满足条件；
当n≥2时，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4可化为2（2n-1）λ+n²-6n+5≥0
令f（λ）=2（2n-1）λ+n²-6n+5，则f（λ）≥0对任意实数λ∈[0，1]恒成立
∴

f(0)≥0 f(1)≥0

，∴

n2-6n+5≥0 n2-2n+3≥0

，∴n≤1或n≥5
∴满足条件的k的最小值为5；
（3）由题意，三点满足方程y=2^x+5，函数为增函数，当n＞m＞k≥2时，0＜kPkPm＜kPnPm
∴对应垂直平分线的斜率k₁＜k₂＜0
∴对应垂直平分线不可能相交于x轴
∴x轴上不存在定点A，使得三点Pn(an，2an+5)、Pm(am，2am+5)、Pk(ak，2ak+5)（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等．

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的确定，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．