Question

已知函数f(x)=2sinxcosx+cos(2x-

π

6

)+cos(2x+

π

6

)，x∈R．
（Ⅰ）求f(

π

12

)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

π

2

，π]上的最大值和最小值，及相应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），从而可求f（

π

12

）的值．
（Ⅱ）可先求得 

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

，从而可求函数f（x）在区间[

π

2

，π]上的最大值和最小值，及相应的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos（2x-

π

6

）+cos（2x+

π

6

）
=sin2x+（cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

）+（cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

）
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
所以f（

π

12

）=2sin

π

2

=2． …（7分）
（另解）f（

π

12

）=2sin

π

12

cos

π

12

+cos（2×

π

12

-

π

6

）+cos（2×

π

12

+

π

6

）=sin

π

6

+sn

π

2

+cos

π

3

=2． …（2分）
（Ⅱ）因为 

π

2

≤x≤π，
所以 

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

．
所以 当2x+

π

3

=

7π

3

，即x=π时，ymax=

3

；
当2x+

π

3

=

3π

2

，即x=

7π

12

时，y_min=-2．…（13分）
所以当x=π时，ymax=

3

；当x=

7π

12

时，y_min=-2．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．