Question

18．已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点F是AB边上动点，点E是棱B₁B的中点．
（Ⅰ）求证：D₁F⊥A₁D；
（Ⅱ）求多面体ABCDED₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，从而A₁D⊥平面ABD₁，由此能证明D₁F⊥A₁D．
（Ⅱ）多面体ABCDED₁的体积V=${V}_{{D}_{1}-ABCD}+{V}_{{D}_{1}-BCE}$，由此能求出结果．

解答 （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
∴AB⊥A₁D，
∵四边形ADD₁A₁是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥平面ABD₁，
∵点F是AB边上动点，∴D₁F?平面ABD₁，
∴D₁F⊥A₁D．
解：（Ⅱ）多面体ABCDED₁的体积：
V=${V}_{{D}_{1}-ABCD}+{V}_{{D}_{1}-BCE}$
=$\frac{1}{3}×D{D}_{1}×{S}_{矩形ABCD}$+$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△BCE}$
=$\frac{1}{3}×1×1×2+\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．