Question

已知等式：cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=acos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a．
（1）根据以上所给的等式写出一个具有一般性的等式，并指出实数a的值；
（2）证明你所写的等式．

Answer 1

分析：（1）将已知两等式变形后，依此类推得到cos²60°+sin²30°+cos60°sin30°=a，利用特殊角的三角函数值化简后求出a的值，归纳总结得到一般性的结论即可；
（2）找出的等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到结果为

3

4

，得证．

解答：解：（1）∵cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=a，
cos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a，
∴cos²61°+sin²（61°-30°）+cos61°sin（61°-30°）=a，
cos²20°+sin²（20°-30°）+cos20°sin（20°-30°）=a
由此猜测有：cos²60°+sin²30°+cos60°sin30°=a，即得a=

3

4

，
则一般性结论为cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

；
（2）证明：cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）
=cos²α+（sinαcos30°-cosαsin30°）²+cosα（sinαcos30°-cosαsin30°）
=cos²α+

3

4

sin²α-

3

2

sinαcosα+

1

4

cos²α+

3

2

sinαcosα-

1

2

cos²α
=

3

4

（sin²α+cos²α）=

3

4

，
则cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．