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已知函数是函数的极值点。

(Ⅰ)当时,求a的值,讨论函数的单调性;

(Ⅱ)当R时,函数有两个零点,求实数m的取值范围.

(Ⅲ)是否存在这样的直线,同时满足:

是函数的图象在点处的切线 

与函数 的图象相切于点,如果存在,求实数b的取值范围;不存在,请说明理由。

解:(1),

.                ....1分

由已知得,解得a=1.                ……2分

时,,当时,.又,     ....3分

时,上单调递增,在上单调递减.  ………4分

(2)由(1)知,当时,单调递减,

单调递增,.         ………………2分

要使函数有两个零点,则函数的图象与直线有两个不同的交点.

①当时,m=0或;                                   ....3分

②当b=0时,;                                      ....4分

③当.                                       ....5分

(3)假设存在, 时,

      

函数的图象在点处的切线的方程为:       ....1分

直线与函数的图象相切于点

,所以切线的斜率为

    所以切线的方程为

    即的方程为:                         …………2分

    得

    得其中                      ....3分

    记其中

      

    令                                         ....4分

 

1

+

0

-

极大值

      

    所以实数b的取值范围的集合:             …………5分

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:2011届广东省汕头市高三四校联考数学理卷 题型:解答题

.(本小题满分14分)
已知函数是函数的极值点.
(1)求实数的值;
(2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值.

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科目:高中数学 来源:2013届浙江桐乡高级中学高二第二学期期中考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数是函数的极值点,其中

是自然对数的底数.

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ)直线同时满足:

是函数的图象在点处的切线,

与函数的图象相切于点

求实数b的取值范围.

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省汕头市高三第一次模拟考试数学理卷 题型:解答题

((本小题满分14分)

已知函数是函数的极值点。

(Ⅰ)当时,求a的值,讨论函数的单调性;

(Ⅱ)当R时,函数有两个零点,求实数m的取值范围.

(Ⅲ)是否存在这样的直线,同时满足:

是函数的图象在点处的切线   

与函数 的图象相切于点

如果存在,求实数b的取值范围;不存在,请说明理由。

 

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省汕头市高三四校联考数学理卷 题型:解答题

.(本小题满分14分)

已知函数是函数的极值点.

 (1)求实数的值;

 (2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值.

 

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科目:高中数学 来源:2013届湖南省高二上学期期末考试文科数学试卷 题型:解答题

已知函数是函数的极值点,其中是自然对数的底数。

(I)求实数a的值;

(II)直线同时满足:

是函数的图象在点处的切线 , 

与函数的图象相切于点,求实数b的取值范围

 

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