Question

已知函数是函数的极值点。

（Ⅰ）当时，求a的值，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.

（Ⅲ）是否存在这样的直线，同时满足：

①是函数的图象在点处的切线　

②与函数 的图象相切于点，如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）,

．                ．．．．1分

由已知得，解得a=1．                ……2分

．

当时，，当时，．又，     ．．．．3分

当时，在，上单调递增，在上单调递减．  ………4分

（2）由（1）知，当时，单调递减，

当，单调递增，.         ………………2分

要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.

①当时，m=0或；                                   ．．．．3分

②当b=0时，；                                      ．．．．4分

③当.                                       ．．．．5分

（3）假设存在， 时，

      

函数的图象在点处的切线的方程为：       ．．．．1分

直线与函数的图象相切于点，

_，，所以切线的斜率为

    所以切线的方程为

    即的方程为：                         …………2分

    得

    得其中                      ．．．．3分

    记其中

      

    令                                         ．．．．4分

 

		1
	+	0	-
		极大值

又_，

      

    所以实数b的取值范围的集合：             …………5分