Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}+a}$是R上的奇函数，且f（1）=$\frac{1}{6}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）＞-x²+2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是R上的奇函数，f（0）=0以及f（1）=$\frac{1}{6}$，列出方程组求出a、b的值；
（2）函数f（x）在R上是单调增函数，用定义证明即可；
（3）x∈[1，2]时，f（x）＞-x²+2x+m恒成立，转化为利用单调性求函数
g（x）=f（x）+（x²-2x）在[1，2]上的最小值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}+a}$是R上的奇函数，
∴f（0）=0，即$\frac{1}{2}$-$\frac{b}{1+a}$=0①；
又f（1）=$\frac{1}{6}$，∴$\frac{1}{2}$-$\frac{b}{2+a}$=$\frac{1}{6}$②；
由①、②组成方程组，解得a=1，b=1；
∴函数f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
（2）f（x）在R上是单调增函数，用定义证明如下；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是定义域R上的增函数；
（3）当x∈[1，2]时，
f（x）＞-x²+2x+m恒成立，
即m＜f（x）+（x²-2x）恒成立；
设函数g（x）=f（x）+（x²-2x），
则该函数在[1，2]上是单调增函数，
∴g（x）的最小值是g（x）_min=g（1）=f（1）+（1²-2×1）=$\frac{1}{6}$-1=-$\frac{5}{6}$，
∴实数m的取值范围是m＜-$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．