Question

18．已知，a，b，c（a＞b＞c）是△ABC的角A，B，C的对边，若4sin²（B+C）-3=0，则$\frac{asin（\frac{π}{6}-C）}{b-c}$的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由4sin²（B+C）-3=0，可得4sin²A=3，解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．又a＞b＞c，可得：A=$\frac{2π}{3}$．利用正弦定理可得$\frac{asin（\frac{π}{6}-C）}{b-c}$=$\frac{sinAsin（\frac{π}{6}-C）}{sinB-sinC}$，再利用和差公式即可得出．

解答 解：∵4sin²（B+C）-3=0，∴4sin²A=3，∵A∈（0，π），解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又a＞b＞c，
∴A最大，因此A=$\frac{2π}{3}$．
∴$\frac{asin（\frac{π}{6}-C）}{b-c}$=$\frac{sinAsin（\frac{π}{6}-C）}{sinB-sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sin（\frac{π}{6}-C）}{sin（\frac{π}{3}-C）-sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sin（\frac{π}{6}-C）}{\sqrt{3}sin（\frac{π}{6}-C）}$=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、诱导公式及其三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．