Question

8．在△ABC中，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且△ABC的面积为$\sqrt{2}$．
（1）求AB边的长；
（2）若D为边BC上一点，且AD平分∠BAC，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由条件可得sinB和sinC的值，设BC边上的高AE=h，则AB=$\sqrt{3}$h，AC=3h，BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h．再根据△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$BC•AE=$\sqrt{2}$，求得h的值，可得AB 的值．
（2）由条件利用内角平分线的性质，求得BD的值．

解答 解：（1）△ABC中，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinC=$\frac{1}{3}$，设BC边上的高AE=h，
则AB=$\sqrt{3}$h，AC=3h，BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h．
再根据△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$BC•AE=（$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h）•h=$\sqrt{2}$，求得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴AB=$\sqrt{3}$h=$\sqrt{2}$．
（2）若D为边BC上一点，且AD平分∠BAC，则由内角平分线的性质可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，
即 $\frac{\sqrt{3}•h}{3h}$=$\frac{BD}{3\sqrt{2}h-BD}$，求得BD=$\frac{3\sqrt{6}•h}{3+\sqrt{3}}$=3-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直角三角形中的边角关系，内角平分线的性质，属于中档题．