Question

如果在数列{a_n}中，a₁=1，对任何正整数n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立，那么

lim

n→∞

an

n2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：由题设条件知，需要先求出通项a_n，由对任何正整数n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立知，可用累乘法求出通项，再代入求极限即可

解答：解：由任何正整数n，等式na_n+1=（n+2）a_n都成立知

an+1

an

=

n+2

n

即

an

an-1

=

n+1

n-1

故有

an

an-1

×

an-1

an-2

×…× 

a2

a1

=

an

a1

=

n+1

n-1

×

n

n-2

×…×

4

2

× 

3

1

=

n2+n

2

又a₁=1，故a_n=

n2+n

2

由

lim

n→∞

an

n2

=

lim

n→∞

n2+n 2

n2

=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

故答案为

1

2

点评：本题考查数列的极限，由题设中所给的递推关系求出通项再求其极限，数列的极限是数列中一类比较重要的题型，其特征是数列是无限的．